O que é uma demonstração matemática?

Uma demonstração matemática é um procedimento que garante a validade de um resultado. Assim, uma vez que uma proposição está demonstrada, ela permanece válida para todo o sempre. Isso não é incrível? Neste artigo veremos em detalhes o que é uma demonstração matemática.

Lógica e proposições matemáticas

Uma proposição matemática é uma afirmação envolvendo objetos matemáticos que pode ser verdadeira ou falsa. Assim, existem diversos tipos de proposições matemáticas. Por exemplo, aquelas que se usam conectivos lógicos “Se… Então…” ou “A ocorre se, e somente se, B ocorre”. Também pode envolver quantificadores lógicos, como “Para todo A, ocorre B” ou “Existe um A que satisfaz B”, e assim por diante.

Uma proposição matemática pode ser geométrica, aritmética, algébrica ou analítica, ou uma combinação destas. Desse modo, os objetos envolvidos nas proposições simples, que compõem a proposição composta a ser demonstrada ou refutada, é que determinam o tipo de proposição que estamos lidando.

Por fim, para que uma proposição se transforme em um Teorema, é necessário apresentar uma demonstração válida. Mas afinal, o que é uma demonstração matemática? É isso que veremos a seguir.

Demonstração matemática

Em matemática, uma demonstração é uma prova de que, dadas certas hipóteses, algum enunciado de interesse é necessariamente verdadeiro. Para tanto, utiliza-se como base algumas premissas intrínsecas a um modelo conceitual e conclusões válidas que, a partir de uma série de operações logicamente verdadeiras, chega-se ao resultado desejado.

Uma vez que o resultado é demonstrado, costuma-se marcar o final da prova com um quadrado ou com a sigla c.q.d. (como queríamos demonstrar).

Como fazer uma demonstração matemática

Fazer demonstrações matemáticas é uma habilidade e, portanto, qualquer um pode desenvolvê-la mediante a prática disciplinada.

Em primeiro lugar, deve-se conhecer muito bem os objetos envolvidos na proposição que será demonstrada: as hipóteses, ou premissas, e a conclusão. Além disso, é importante que se conheça as relações entre esses objetos.

Em seguida é recomendável que se faça um diagrama, um esquema geral, da demonstração. Então, deve-se ser capaz de garantir a validade de cada um dos passos para se chegar à conclusão.

Por fim, é recomendável o estudo detalhado de diversas demonstrações (especialmente em livros), para assim desenvolver essa habilidade.

Para tanto, recomendamos o estudo do livro Os Elementos, de Euclides. Essa é uma referência excelente de como se construir uma teoria axiomática, com rigor matemático nas demonstrações.

Principais erros ao se fazer uma demonstração matemática

Os três principais erros cometidos ao se fazer uma demonstração matemática são os seguintes:

  • Desconhecer os objetos envolvidos na proposição e as relações entre eles;
  • Pular etapas: cada passo deve ser justificado logicamente;
  • Escrita precária: é importante escrever detalhadamente as justificativas de cada passo da demonstração, inclusive com notação matemática adequada.

Como desenvolver habilidades avançadas de aprendizagem matemática

A aprendizagem matemática é uma habilidade e qualquer pessoa pode desenvolver níveis avançados nessa habilidade. Para tanto, é necessário disciplina, persistência e consistência.

Contar com o auxílio de um mentor profissional pode fazer toda a diferença em seus resultados. Veja este artigo sobre como escolher seu mentor profissional em matemática.

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